Nikmatnya x

“Saat saya berada di Los Almos saya kagum pada Hans Bethe. Dia sangat cerdas dalam berhitung. Contohnya, ketika itu kami memasukkan angka ke dalam rumus dan keluarlah 48 kuadrat. Saya mencari kalkulator dagang, dan dia menjawab, ‘Sekitar 2300.’ Saya mulai memencet kalkulator dan dia berkata lagi, ”Kalau kamu ingin yang pasti, hasilnya 2304.’

Kalkulator menampilkan 2304. ‘Masya Alloh! Luar biasa!’ kata saya.

Kali ini kita akan mengingat kembali aljabar, geometri dan trigonometri. Anda sudah lupa semuanya? Jangan kuatir – tidak akan ada ujian kali ini. Supaya anda tidak pusing, kami akan menjabarkan ide-ide yang memikat, penting dan berdampak besar.

Mungkin anda pernah kesulitan mempelajari aljabar – percampuran antara lambang-lambang, definisi dan prosedur yang sungguh rumit. Tetapi pada akhirnya aljabar mengerucut pada dua kegiatan – mencari nilai x dan menggunakan rumus.

Mencari nilai x merupakan tugas seorang detektif. Anda mencari angka yang belum diketahui, x. Anda telah diberitahu sedikit informasi mengenai x, bisa dalam bentuk persamaan seperti 2x + 3 = 7 atau informasi yang lebih rumit dalam bentuk soal cerita. Apapun informasinya, tujuannya adalah menemukan x dari informasi yang diberikan.

Pada sisi lain, menggunakan rumus seperti bermain dengan seni dan sains. Ketimbang merenungi nilai x, anda akan memanipulasi dan mengolah rumus itu sedemikian rupa, tanpa mengubah maknanya, meskipun angka-angka dalam rumus itu berubah. Angka-angka yang terus berubah ini dinamakan “peubah”, dan peubah inilah yang sebenarnya membedakan aljabar dengan aritmetika.

Rumus-rumus dalam soal cerita bisa berbentuk pola yang menawan mengenai angka-angka. Di sinilah aljabar bersanding dengan seni. Atau rumus-rumus itu berbentuk angka-angka di dunia nyata seperti hukum benda-benda jatuh atau orbit planet atau frekuensi genetik dalam populasi. Di sinilah aljabar bertemu sains.

Pembagian aljabar ke dalam dua kegiatan di atas bukanlah baku (faktanya, saya yang menciptakan), tetapi kelihatannya berhasil. Pada kolom minggu depan saya akan berbicara lebih banyak soal pencarian x, saat ini mari fokus pada rumus, mulai dari contoh-contoh yang gampang supaya jelas.

Tahun lalu, putri saya Jo menyadari sesuatu tentang dia dan kakaknya Leah. “Ayah, selalu ada angka antara umurku dan umur Leah. Sekarang umurku 6 dan umur Leah 8, dan 7 di tengahnya. Bahkan saat kami sudah dewasa, misalnya umurku 20 dan umur Leah 22, selalu ada angka di tengahnya.

Pengamatan Jo memenuhi syarat aljabar (meski hanya ayahnya yang bangga yang memahaminya) karena dia memerhatikan hubungan antara dua peubah yang selalu berubah: umurnya x dan umur Leah y. Setua berapapun mereka, Leah selalu dua tahun lebih tua: y = x + 2.

Aljabar merupakan bahasa di mana pola-pola demikian diungkapkan secara alami. Perlu latihan yang cukup untuk mahir dalam aljabar, sebab aljabar dipenuhi apa yang orang Prancis sebut “faux amis” – teman yang salah tetapi terdengar benar pada bahasa tertentu (Bahasa Inggris dalam kasus ini) namun sangat berbeda artinya jika diterjemahkan ke dalam bahasa lain (di sini maksudnya lambang-lambang aljabar).

Contohnya, andaikan panjang selasar adalah y dalam satuan yard, dan k dalam satuan kaki. Tulislah persamaan yang menghubungkan y dengan k

Teman saya Grant Wiggins, seorang konsultan pendidikan, telah memberikan soal ini kepada para siswa dan mahasiswa selama bertahun-tahun. Pengalamannya, para siswa salah menjawabnya lebih separuh dari waktunya, meskipun mereka baru saja mengambil dan lulus kursus aljabar.

Bila jawaban anda y = 3 k, selamat datang di klub kami.

Sepertinya contoh di atas dapat diterjemahkan langsung menjadi,” Satu yard sama dengan tiga kaki”. Namun ketika anda memasukkan beberapa angka, anda akan melihat bahwa formula ini terbalik. Katakanlah panjang selasar adalah 10 yard, semua orang tahu itu sama dengan 30 kaki. Tapi saat anda masukkan y = 10 dan k = 30, rumus itu salah !

Rumus yang tepat adalah k = 3 y. Di sini 3 berarti 3 kaki/yard. Saat anda mengalikan 3 dengan y dalam satuan yard, satuan yard akan terhapus dan tersisa satuan kaki, sebagaimana seharusnya.

Memeriksa bahwa satuan terhapus dengan tepat akan membuat anda terhindar dari kesalahan semacam ini.

Contoh jenis rumus yang lain adalah “identitas”. Kapan saja anda membagi atau mengalikan polynomial dalam kelas aljabar, anda bermain dengan identitas. Anda bisa memakainya untuk mengesankan teman anda dengan trik numerik. Di bawah ini salah satu yang membuat Ahli Fisika Richard Feyman terkesan pada matematika mental:

“Saat saya berada di Los Almos saya kagum pada Hans Bethe. Dia sangat cerdas dalam berhitung. Contohnya, ketika itu kami memasukkan angka ke dalam rumus dan keluarlah 48 kuadrat. Saya mencari kalkulator dagang, dan dia menjawab, ‘Sekitar 2300.’ Saya mulai memencet kalkulator dan dia berkata lagi, ”Kalau kamu ingin yang pasti, hasilnya 2304.’

Kalkulator menampilkan 2304. ‘Masya Alloh! Luar biasa!’ kata saya.

‘Tahukah kamu bagaimana menguadratkan bilangan mendekati angka 50? Katanya. “Kuadratkan 50 – hasilnya 2500 – lalu kurangi dengan 100 kali selisih antara bilangan itu dengan 50 (pada kasus ini selisihnya 2), maka engkau dapatkan 2300. Kalau kamu ingin lebih akurat, kuadratkan selisihnya dan tambahkan. Hasilnya 2304.’”

Trik Bethe berdasarkan pada identitas berikut
(50 + x)2= 2500 + 100x + x2.

Dia hapal persamaan itu dan menerapkannya pada kasus di mana x adalah -2, sesuai angka 48 = 50 – 2.

Untuk membuktikannya, bayangkan selembar karpet yang panjang sisinya masing-masing 50 + x. Lihat gambar berikut:

http://graphics8.nytimes.com/images/2010/02/22/opinion/strogatz5img/strogatz5img-custom4.jpg

Maka luas area ini adalah (50 + x) persegi. Namun gambar di atas menunjukkan area ini terbagi menjadi kotak berukuran 50 x 50 (hasilnya 2500), dua kotak yang sisi-sisinya 50 dan x (masing-masing bernilai 50x dan digabung menjadi 100x), dan terakhir kotak kecil yang luasnya x kuadrat persegi. Pas benar dengan rumus Bethe.

Hubungan seperti ini tidak hanya untuk Ahli Fisika teori. Identitas yang mirip dengan rumus Bethe juga cocok untuk siapapun yang berinvestasi di pasar saham. Andaikan portofolio anda turun drastis 50 persen pada tahun ini dan naik 50 persen tahun berikutnya.

Meskipun nilai saham anda pulih secara dramatis, nilai saham anda masih turun 25 persen, karena 0.5 kali 1.5 adalah 0.75.

Kenyataannya saham anda tidak akan kembali seperti semula meski nilainya turun dan naik dengan persentase yang sama secara berurutan tiap tahun. Dengan aljabar kita akan mengetahui sebabnya. Berikut identitasnya:

(1 – x)(1 + x) = 1 – x2.

Saat turun nilai saham anda menciut sebesar 1 – x (di mana x adalah 0.5 dalam contoh di atas) dan naik sebesar 1 + x pada tahun berikutnya. Maka perubahan total adalah:

(1 – x)(1 + x)

Ini sama dengan

1 – x2.

Nilai persamaan ini selalu kurang dari 1 untuk tiap nilai x yang bukan 0. Maka anda tidak akan kembali ke nilai semula.

Sayangnya, tidak semua hubungan antar peubah sifatnya langsung sebagaimana contoh-contoh di atas. Meskipun demikian aljabar tetaplah menarik. Bagi orang-orang yang unik, aljabar akan menghasilkan rumus konyol seperti rumus selisih umur yang diperbolehkan untuk berkencan. Menurut beberapa situs internet, jika umur anda x, masyarakat akan menolak bila anda berkencan dengan seseorang yang lebih muda dari (x/2) + 7.

Dengan kata lain, sangat aneh bila seseorang berumur lebih dari 82 mengencani istri saya yang berumur 48 tahun, meskipun dia lagi kosong. Umur 81 ? Boleh saja.

Ck,ck,ck…
________________________________________
Diterjemahkan dari The Joy of x karya STEVEN STROGATZ dari situs http://opinionator.blogs.nytimes.com/2010/02/28/the-joy-of-x/.

Steven Strogatz adalah professor matematika terapan di Cornell University. Pada tahun 2007 dia menerima the Communications Award, sebuah penghargaan seumur hidup atas komunikasi matematika kepada masyarakat umum. Dia pernah mengajar di the Massachusetts Institute of Technology, di mana dia mendapat the E.M. Baker Award, hadiah pengajaran institut yang dipilih hanya oleh para mahasiswa. “Chaos,” Seri 24 kuliahnya mengenai teori kekacauan, telah difilmkan dan diproduksi pada tahun 2008 oleh The Teaching Company. Yang terbaru, dia adalah pengarang “The Calculus of Friendship,” kisah 30 tahun surat-menyuratnya dengan guru kalkulus SMU. Pada seri ini, yang muncul tiap Senin, dia membawa pembaca dari dasar-dasar matematika menuju misteri.

2 Tanggapan

  1. versi terjemahan full buku “the joy of x” .ada?
    punya buku asli atau sudah diterjemahkan “The calculus of friendship” juga?
    —mkshinfonya–

    • dear doelbas,
      saya tidak punya bukunya “the joy of X”, “The calculus of friendship” juga tidak punya. Kalau anda punya tolong fotocopy dan kirim ke saya. saya ingin terjemahkan per bab lalu akan saya email ke anda.

      Eko H (Jl Pacarkembang 3 no 11, Surabaya)

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: