PELUANG

Sebelum berlibur selama seminggu, anda meminta teman serumah untuk menyiram tanaman anda yang mulai layu. Tanpa air, peluang tanaman itu mati adalah 90 persen. Meskipun disirami dengan baik, peluang matinya 20 persen. Sedangkan peluang teman anda lupa menyiram adalah 30 persen. (a) berapa peluang tanaman anda tetap hidup dalam minggu ini? (b) ketika tanaman itu mati saat anda kembali, berapa peluang teman anda lupa menyiraminya? (c) jika teman anda lupa menyiraminya, berapa peluang tanaman itu mati saat anda kembali?

Peluang mereka tergantikan adalah nihil

Pernahkah anda bermimpi buruk di mana anda tiba-tiba sadar anda harus mengikuti ujian akhir pada mata kuliah yang anda tidak pernah ikuti? Untuk professor, arahnya terbalik – anda bermimpi anda mengajar mata kuliah yang anda tidak tahu apapun tentangnya.

Kondisi ini seperti saat saya mengajarkan teori peluang. Saya tidak pernah mengikuti kuliah ini sehingga mengajarkannya terasa menakutkan sekaligus menyenangkan, seperti di wahana permainan atau rumah hantu.

Barangkali topik yang membuat saya paling bersemangat adalah “peluang kondisional” – peluang kejadian A terjadi bila (atau dikondisikan oleh) terjadinya kejadian B. Konsep ini bisa menipu, mudah disalahpahami dengan peluang B jika A terjadi. Kedua peluang ini tidaklah sama namun anda perlu berusaha keras untuk tahu kenapa.

Contohnya, pelajari soal cerita berikut:
Sebelum berlibur selama seminggu, anda meminta teman serumah untuk menyiram tanaman anda yang mulai layu. Tanpa air, peluang tanaman itu mati adalah 90 persen. Meskipun disirami dengan baik, peluang matinya 20 persen. Sedangkan peluang teman anda lupa menyiram adalah 30 persen. (a) berapa peluang tanaman anda tetap hidup dalam minggu ini? (b) ketika tanaman itu mati saat anda kembali, berapa peluang teman anda lupa menyiraminya? (c) jika teman anda lupa menyiraminya, berapa peluang tanaman itu mati saat anda kembali?

Meski terlihat mirip, (b) dan (c) tidaklah sama. Nyatanya, dari soal kita tahu jawaban (c) adalah 90 persen. Namun bagaimana anda menggabungkan semua peluang untuk menjawab (b)? atau (a)?

Umumnya saya mengajar topik ini pada semester-semester awal, saya mengacu dengan ketat pada buku ajar supaya aman. Namun lambat laun saya menyadari. Beberapa mahasiswa saya menghindari pemakaian “Teorema Bayes,” rumus berlaku-liku yang saya ajarkan. Mereka memilih memecahkannya dengan teknik yang jauh lebih mudah.

Tahun demi tahun apa yang mahasiswa-mahasiswa cerdas ini temukan merupakan cara yang lebih baik untuk memahami peluang kondisonal. Mereka memakai intuisi. Cara berpikir mereka dalam bentuk “frekuensi alami” – penghitungan sederhana tentang jumlah kejadian — bukan dengan cara yang abstrak seperti persentase atau probabilitas. Segera setelah cara berpikir ini anda pakai, kabut akan terangkat.

Ini adalah inti pelajaran “Resiko terhitung,” sebuah buku mengagumkan karya Gerd Gigerenzer, psikolog kognitif di Institut Max Planck untuk Perkembangan Manusia di Berlin. Dalam beberapa penelitian mulai bimbingan AIDS hingga penafsiran sidik-jari DNA, Gigerenzer menggali bagaimana orang-orang keliru menghitung resiko dan ketidakpastian. Namun dia tidak menyalahkan mereka. Justru dia memberitahu kita bagaimana menghitung dengan lebih baik – bagaimana menghindari “pemikiran berkabut” dengan menempatkan masalah peluang kondisional ke dalam bentuk frekuensi alami yang dilakukan banyak mahasiswa saya.

Pada salah satu penelitian, Gigerenzer dan sejawatnya meminta beberapa dokter di Jerman dan AS untuk memerkirakan peluang bahwa seorang perempuan dengan mammogram positif ternyata mengidap kanker payudara, meskipun dia dalam kelompok yang beresiko rendah: berumur 40 hingga 50, tanpa ada gejala atau riwayat keluarga mengenai kanker payudara. Supaya jelas, para dokter diberikan soal statistik di bawah ini – memakai istilah persentase dan probabilitas – mengenai tingkat kejadian kanker payudara yang menimpa perempuan dalam kelompok ini, dan juga mengenai kepekaan mammogram:

Peluang salah satu perempuan-perempuan ini mengidap kanker payudara adalah 0,8 persen. Jika seorang perempuan mengidap kanker payudara, peluangnya 90% bahwa dia mempunyai mammogram positif. Jika seorang perempuan tidak mengidap kanker payudara, peluangnya 7 persen bahwa dia masih mempunyai mammogram positif. Andaikan seorang perempuan mempunyai mammogram positif, berapa peluangnya bahwa dia memang mengidap kanker payudara?

Gigerenzer melukiskan reaksi dokter pertama yang dia uji, Dia seorang kepala departemen rumah sakit pendidikan dengan pengalaman lebih dari 30 tahun:
“Dia terlihat gelisah ketika mencoba menjawab soal ini. Setelah merenungi beberapa lama, akhirnya dia memerkirakan peluang perempuan itu mengidap kanker payudara, jika dia mempunyai mammogram positif, adalah 90 persen. Katanya dengan galau,’Ah, soal apa ini. Aku tidak bisa. Anda seharusnya bertanya pada putriku. Dia belajar kedokteran.’ Dia tahu perkiraannya keliru, tapi dia tidak tahu bagaimana. Meski dia menghabiskan 10 menit untuk menjawab, dia gagal memetik kesimpulan dari probabilitas itu.”

Ketika Gigerenzer bertanya soal yang sama pada 24 dokter German lainnya, perkiraan mereka merentang jauh dari 1 hingga 90 persen. Delapan dari mereka menjawab peluangnya 10 persen atau kurang, delapan lainnya menjawab 90 persen dan delapan sisinya menjawab antara 50 dan 80 persen. Bisa dibayangkan betapa kecewanya pasien mendengar pendapat yang amat beragam ini.
Untuk dokter-dokter AS, 95 dari 100 orang menjawab sekitar 75 persen.
Jawaban yang benar adalah 9 persen.

Kok bisa rendah sekali? Gigerenzer menegaskan bahwa analisa akan sangat jelas jika kita mengubah informasi awal yang berisi persentase dan probabilitas ke dalam frekuensi alami:

Delapan dari 1000 perempuan mengidap kanker payudara. Dari 8 perempuan dengan kanker payudara ini, 7 akan mempunyai mammogram positif. Dari sisa 992 perempuan yang tidak mengidap kanker payudara, sekitar 70 akan tetap mempunyai mammogram positif. Bayangkan sekelompok perempuan yang mempunyai mammogram positif sedang diperiksa. Berapa banyak yang ternyata mengidap kanker payudara?

Karena 7 + 70 = 77 perempuan yang mempunyai mammogram positif, dan hanya 7 dari mereka yang benar-benar mengidap kanker payudara, peluang mengidap kanker payudara jika mammogram-nya positif adalah 7 dari 77, yaitu 1 per 11, atau sekitar 9 persen.

Perhatikan dua penyederhanaan dari hitungan di atas. Pertama, kami membulatkan bilangan desimal menjadi bilangan bulat. Contohnya ketika kami berkata, ”Dari 8 perempuan dengan kanker payudara ini, 7 akan mempunyai mammogram positif.” Seharusnya kami mengatakan 90 persen dari 8 perempuan, atau 7,2 perempuan, akan mempunyai mammogram positif. Sehingga kami mengorbankan sedikit akurasi untuk mendapatkan banyak kejelasan.

Kedua, kami mengasumsikan bahwa segalanya pasti terjadi tepat sebanyak frekuensi probabilitasnya. Contohnya, karena peluang kanker payudara 0,8 persen, maka tepat 8 perempuan dari 1.000 pada kelompok itu kami anggap mengidapnya. Pada kenyataannya, hal ini tidak selalu benar. Sesuatu tidak harus mengikuti peluangnya; koin yang dilempar 1000 kali tidak harus muncul kepala sebanyak 500 kali. Tetapi berpura-pura hal demikian terjadi bisa menjawab masalah seperti ini.

Kami akui logika ini sedikit goyah – karena itu secara buku-ajar pendekatan ini diremehkan jika dibandingkan Teorema Bayes – namun kejelasan yang didapatkan cukup valid.

Saat Gigerenzer menguji 24 dolter lain, kali ini memakai frekuensi alami, hampir semuanya menjawab dengan benar, atau mendekatinya.

Meskipun menyusun ulang data ke dalam bentuk frekuensi alami memang sangat membantu, masalah peluang kondisional masih membingungkan karena hal-hal lain. Mudah untuk bertanya soal yang keliru, atau menghitung peluang yang tepat tapi menyesatkan.

Jaksa dan Pembela salah dalam menghitung peluang ini saat pengadilan O.J. Simpson pada tahun 1994-1995. Masing-masing meminta Juri untuk mempertimbangkan peluang kondisional yang keliru.

Jaksa menghabiskan 10 hari pertama untuk memaparkan bahwa O.J. punya riwayat kekerasan pada mantan istrinya, Nicole. Dia sengaja menganiayanya, membenturkannya ke dinding dan meraba-raba di depan umum, dan berkata, “Ini milikku.” Tetapi apa hubungannya dengan percobaan pembunuhan ? pendapat jaksa adalah pola penyiksaan pasangan mencerminkan motif untuk membunuh. Sebagaimana salah satu jaksa mengatakan,” Tamparan merupakan pengantar ke pembunuhan.”

Alan Dershowitz membantahnya, menurutnya meskipun kekerasan domestik memang terjadi, hal ini tidak berhubungan sehingga harus diabaikan. Dia lalu menulis,” Kami bisa membuktikannya bila perlu, bahwa peluangnya kecil sekali – lebih kecil dari 1 dalam 2.500 – pada pria yang menampar atau memukul pasangannya akan membunuhnya.”

Keduanya lalu meminta juri mempertimbangkan peluang seorang pria membunuh mantan istrinya, dengan kondisi dia menyiksanya sebelumnya. Namun statistikawan I.J. Good mengatakan bukan peluang itu yang seharusnya dipertimbangkan.

Pertanyaan yang benar adalah: Berapa probabilitas pria membunuh mantan istrinya, dengan kondisi dia menyiksanya sebelumnya dan perempuan itu dibunuh oleh orang lain? Peluang kondisionalnya jauh melebihi 1 per 2500.

Untuk jelasnya, bayangkan sampel berisi 100.000 perempuan tersiksa. Memakai angka Dershowitz 1 per 2.500, kami mendapat sekitar 40 perempuan dibunuh oleh penyiksanya pada tahun tersebut (karena 100.000 dibagi 2.500 sama dengan 40). Kami memerkirakan rata-rata ada tambahan 5 orang perempuan tersiksa, akan dibunuh oleh orang lain, sebab tingkat pembunuhan untuk perempuan di AS pada waktu pengadilan itu sekitar 1 per 20.000 per tahun. Maka total pembunuhan adalah 40 + 5 = 45 , 40 di antaranya dibunuh oelh penyiksanya. Dengan kata lain, peluang penyiksanya adalah pembunuhnya sebesar 90 persen pada saat itu.

Jangan bingung pada hasil hitungan di atas dengan peluang O.J. melakukannya. Peluang tergantung dari banyak bukti lain, mendukung atau membantah, misalnya klaim Pembela bahwa polisi menjebaknya, atau klaim Jaksa bahwa pembunuh dan O.J. sama-sama memakai jenis sepatu, sarung tangan dan DNA yang sama.

Berapa peluangnya hitungan ini mengubah pandangan anda mengenai vonis? Kosong.
________________________________________
Diterjemahkan dari Chances Are karya STEVEN STROGATZ* dari situs NY Times dengan tautan http://opinionator.blogs.nytimes.com/2010/02/28/chances-are/.

*Steven Strogatz adalah professor matematika terapan di Cornell University. Pada tahun 2007 dia menerima the Communications Award, sebuah penghargaan seumur hidup atas komunikasi matematika kepada masyarakat umum. Dia pernah mengajar di the Massachusetts Institute of Technology, di mana dia mendapat the E.M. Baker Award, hadiah pengajaran institut yang dipilih hanya oleh para mahasiswa. “Chaos,” Seri 24 kuliahnya mengenai teori kekacauan, telah difilmkan dan diproduksi pada tahun 2008 oleh The Teaching Company. Yang terbaru, dia adalah pengarang “The Calculus of Friendship,” kisah 30 tahun surat-menyuratnya dengan guru kalkulus SMU. Pada seri ini, yang muncul tiap Senin, dia membawa pembaca dari dasar-dasar matematika menuju misteri.

CATATAN:
1. Jawaban bagian (a) pada soal cerita “tanaman yang hampir layu” adalah 59 persen. Jawaban bagian (b) adalah 27/41, atau kira-kira 65.85 percent. Caranya, bayangkan 100 tanaman dan hitung (rata-rata) berapa banyak yang disirami dan yang tidak, lalu berapa banyak yang kemudian mati atau tetap hidup, berdasarkan informasi yang diberikan.
2. Mungkin begini caranya Dershowitz menghitung bahwa kurang dari 1 per 2,500 penyiksa akan membunuh pasangannya per tahun. Pada halaman 101 di bukunya “Reasonable Doubts,” dia mengutip perkiraan pada tahun 1992, antara 2.5 dan 4 juta perempuan di AS disiksa oleh suami, pacar, dan mantan pacar mereka. Pada tahun yang sama,menurut the FBI Uniform Crime Reports, 913 perempuan dibunuh oleh suami mereka, and 519 dibunuh oleh pacar atau mantan pacar. Membagi 1,432 pembunuhan dengan 2.5 juta siksaan menghasilkan 1 pembunuhan tiap 1,746 siksaan, sedangkan dengan 4 juta siksaan per tahun menghasiilkan 1 pembunuhan tiap 2,793 siksaan. Dershowitz barangkali memilih 2,500 sebagai pembulatan di antara dua nilai ini.
Yang masih belum jelas adalah proporsi perempuan terbunuh yang sebelumnya disiksa oleh para pria ini. Kelihatannya Dershowitz mengasumsikan hampir semua korban telah disiksa sebelumnya, saya menduga meski asumsi ini kebesaran, asumsi ini masih “amat mungil .”


Satu Tanggapan

  1. Just want to say what a great blog you got here!
    I’ve been around for quite a lot of time, but finally decided to show my appreciation of your work!

    Thumbs up, and keep it going!

    Cheers
    Christian, iwspo.net

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: