Batas yang cerdas

Dengan jumlah sisi mendekati tak terhingga, batas atas dan batas bawah mengerucut ke pi. Sayangnya, cara ini tidak sesederhana yang pertama, di mana kerang berubah menjadi persegi panjang. Maka pi tetaplah misteri. Kita bisa menemukan lebih banyak angka di belakang koma untuk pi – catatan terkini adalah 2,7 triliun angka – tapi takkan kita ketahui pastinya.

Saat di SMP, saya dan teman saya suka main tebak-tebakan klasik. Apa yang terjadi bila kekuatan yang tak tertahankan membentur benda yang tak tergerakkan? Mudah saja – keduanya meledak. Filsafat laksana permainan ketika kamu berumur 13 tahun.

Tetapi ada satu teka-teki yang menggelitik: jika kamu terus bergerak separuh jarak dari dinding, akankah kamu sampai di dinding? Ada sesuatu yang bikin gelisah, kamu akan terus bergerak mendekati dinding tetapi tak akan mencapainya. Teka-teki ini sedikit membuka tabir ketakterbatasan. Untuk mencapai dinding, kamu memerlukan langkah yang tak terbatas, dan mendekati akhir langkah-langkah menjadi teramat sangat terlalu kecil. Weleh weleh weleh.

Pertanyaan-pertanyaan seperti ini bisa bikin sakit kepala. Sekitar tahun 500 SM, Zeno dari Elea melontarkan serangkaian pertanyaan tentang ketakterhinggaan yang membingungkan para filsuf selama beberapa generasi, dan sebagian menyebabkan kebencian terhadap matematika berabad-abad setelahnya. Misalnya pada geometri Euclidean , semua pengertian selalu terdiri dari sejumlah langkah yang terhingga. Ketakterhinggaan dianggap sangat tidak tergambarkan, tidak terukur dan teramat tidak masuk akal.

Namun Archimedes, matematikawan terbesar jaman kuno, menyadari kekuatan ketakterhinggaan. Dia memakainya untuk memecahkan masalah-masalah yang cukup rumit. Proses pemecahannya mendekati penemuan kalkulus – hampir 2.000 tahun sebelum Newton dan Leibniz.

Untuk menuju ke kalkulus, saya akan memulai dengan pengantar-pengantar yang indah. Berupa hitungan-hitungan kuno mengenai lingkaran dan pi.
Mari kita mengingat kembali apa itu pi. Pi adalah perbandingan antara dua garis. Garis pertama adalah garis-tengah (diameter), garis yang membelah lingkaran melalui pusatnya. Yang kedua adalah keliling (circumference), garis yang memutari lingkaran. Pi adalah perbandingan antara keduanya, keliling dibagi garis-tengah.

Jika kamu seorang pemikir yang hati-hati, kamu mungkin sudah mulai ragu. Bagaimana kita tahu bahwa pi bernilai sama untuk semua lingkaran? Mungkinkah nilainya berbeda untuk lingkaran besar dan lingkaran kecil? Tentu saja tidak, pembuktiannya bukan main-main. Berikut penjelasannya.

Andaikan kamu memakai mesin fotokopi untuk memperkecil gambar, katakanlah, 50 persennya. Maka semua garis pada gambar – termasuk keliling dan garis-tengah – akan menciut sebesar 50 persen. Sehingga saat kamu membagi keliling yang baru dengan diameter yang baru, maka angka 50 persen akan terbagi habis, perbandingan tidak berubah. Itulah pi.

Tentu saja kita belum tahu berapa nilai pi itu. Percobaan sederhana dengan memakai tali dan piring sudah cukup untuk mendapatkan nilai sekitar 3, atau kalau kamu lebih teliti akan mendapatkan nilai 3 dan 1/7. Tetapi anggaplah kita ingin mendapatkan nilai pi yang pasti atau setidaknya sangat mendekatinya. Terus bagaimana? Inilah yang membingungkan orang-orang jaman kuno.

Sebelum melihat ke solusi Archimedes yang cerdas, kita perlu menyebutkan hal lain di mana pi muncul berkaitan dengan lingkaran. Area lingkaran (luas di dalamnya) mempunyai rumus:

Luas Lingkaran

Di mana A berarti area, π adalah huruf Yunani untuk pi, dan r adalah ruji (jari-jari, radius) lingkaran, separuh garis-tengah.

Kita tentu mengingat rumus ini di SMU, namun darimana rumus ini berasal? Biasanya rumus ini tidak dibuktikan pada kelas geometri. Namun jika kamu mengambil kalkulus, mungkin kamu akan melihat buktinya. Tetapi apakah memang perlu memakai kalkulus untuk membuktikan rumus yang mendasar ini?

Ya, tentu saja.

Yang membuat rumit adalah lingkaran itu bundar. Jika lingkaran terbuat dari garis-garis lurus maka mudah saja. Mudah mencari luas segitiga, bujursangkar dan segilima. Namun sulit untuk bentuk berkurva seperti lingkaran.

Kuncinya secara matematis tentang bentuk berkurva adalah mengandaikan lingkaran terbuat dari banyak sekali garis lurus yang kecil. Sejatinya hal ini keliru tetapi berhasil…jika kamu mendesaknya hingga ke batasnya dan jumlah garis lurusnya tak terhingga. Tentunya garis-garis lurusnya amat kecil sekali. Inilah ide penting di balik semua kalkulus.

Begini salah satu cara mencari luas lingkaran. Mulailah dengan memotong lingkaran menjadi empat bagian yang sama. Lalu susunlah sebagai berikut:

Bentuk kerang yang aneh di bagian bawah berluas yang sama dengan lingkaran meskipun kita juga masih belum tahu berapa luasnya. Namun ada dua kenyataan yang kita tahu. Pertama dua busur pada bagian bawah panjangnya πr, tepat separuh dari keliling lingkaran awal (karena separuh yang lain ditunjukkan oleh dua busur bagian atas). Kedua, sisi-sisi yang lurus panjangnya r, karena awalnya merupakan ruji lingkaran.
Kemudian, ulangi proses ini dengan delapan potongan, disusun seperti sebelumnya.


Kerangnya sekarang terlihat sedikit aneh. Busur di bawah dan di atas masih tetap ada tetapi tidak sejelas sebelumnya. Kemajuan lainnya adalah sisi kiri dan kanan kerang sekarang tidak semiring sebelumnya. Selain dua perubahan ini, dua kenyataan di atas masih tetap berlaku: busur-busur di bawah panjangnya masih πr, dan tiap sisi lurus panjangnya masih r. Dan tentu saja luas kerang masih sebesar sebelumnya – sebesar luas lingkaran yang kita cari – sebab hanya susun ulang dari 8 potongan.
Bila jumlah potongannya terus menerus kita tambah, sesuatu yang menakjubkan terjadi; bentuk kerang mendekati bentuk persegi panjang. Busur-busur jauh lebih landai dan sisi-sisi lurus hampir tegak.

Dengan jumlah potongan mendekati tak terhingga, bentuknya adalah persegi panjang. Dan dua kenyataan masih berlaku, bagian dasar panjangnya πr sedangkan sisinya r.


Sekarang masalahnya menjadi mudah. Luas persegi panjang sama dengan lebar kali tinggi. Dengan mengalikan πr dan r menghasilkan πr2 sebagai luas persegi panjang. Karena susunan kerang selalu sama luasnya dengan lingkaran, maka itulah jawaban luas lingkaran juga !

Yang mengesankan dari hitungan ini adalah ketakterhinggaan menjadi penyelamat. Jika jumlah potongannya terbatas, maka bentuk kerang terlihat aneh dan tidak menjanjikan. Namun ketika kamu mendesaknya hingga ke ujung – saat kamu akhirnya “membentur dinding” – hal ini menjadi sederhana dan cantik. Segalanya menjadi jelas. Itulah manfaat utama kalkulus.

Archimedes memakai strategi serupa untuk menaksir pi. Ia mengganti lingkaran dengan segi-banyak dengan banyak sisi lurus. Lalu terus melipatgandakan jumlah sisi agar bentuknya semakin mendekati bundar. Kemudian ia membatasi pi dengan menjepit lingkaran di antara segi-banyak luar dan segi-banyak dalam, seperti di bawah ini untuk segi-6, segi-12 dan segi-24.

Lalu dia memakai teorema Phytagoras untuk menghitung sisi-sisi segi-banyak luar dan segi-banyak dalam, mulai dari segienam dan membabat alas menuju segi-12, 24, 48 dan akhirnya segi-96. Hasilnya untuk segi-96 membuatnya mampu membuktikan bahwa:

Bila dinyatakan dalam desimal (Archimedes belum mengetahuinya saat itu), pi berada antara 3,1408 dan 3,1429.

Pendekatan ini disebut “metode pembuangan” karena menjepit nilai pi yang belum diketahui dengan dua nilai yang diketahui yang menekannya dari dua arah. Jepitan ini makin ketat tiap kali jumlah potongan digandakan, sehingga membuang sedikit demi sedikit ruang untuk pi.

Dengan jumlah sisi mendekati tak terhingga, batas atas dan batas bawah mengerucut ke pi. Sayangnya, cara ini tidak sesederhana yang pertama, di mana kerang berubah menjadi persegi panjang. Maka pi tetaplah misteri. Kita bisa menemukan lebih banyak angka di belakang koma untuk pi – catatan terkini adalah 2,7 triliun angka – tapi takkan kita ketahui pastinya.

Selain membangun dasar-dasar kalkulus, Archimedes mengajari kita kekuatan pendekatan dan pengulangan. Dia membabat alas dari estimasi yang bagus menjadi lebih baik, memakai lebih banyak potongan-potongan lurus untuk mendekati bangun berkurva dengan tingkat ketelitian yang meningkat.

Lebih dari dua milenium kemudian, strategi ini berkembang menjadi “analisa numerik.” Ketika insinyur memakai komputer untuk merancang mobil agar ramping dan halus, atau ahli biologi menyimulasi obat kemoterapi baru terhadap sel kanker, mereka memakai analisa numerik. Para ahli matematika dan insinyur komputer yang pelopor di bidang ini telah menciptakan algoritma yang sangat efisien dan berulang, berjalan milyaran kali per detik, sehingga komputer mampu memecahkan masalah di kehidupan modern, dari bioteknologi, (bursa) Wall Street hingga internet. Pada tiap kasus, strateginya adalah mencari serangkaian pendekatan yang mengerucut ke jawaban yang benar sebagai batas.

Dan tidak ada batas ke mana metode ini membawa kita.
________________________________________
Diterjemahkan dengan bebas dari Take It To The Limit karya STEVEN STROGATZ dari situs NY Times dengan tautan http://opinionator.blogs.nytimes.com/2010/04/10/take-it-to-the-limit/.

Steven Strogatz adalah professor matematika terapan di Cornell University. Pada tahun 2007 dia menerima the Communications Award, sebuah penghargaan seumur hidup atas komunikasi matematika kepada masyarakat umum. Dia pernah mengajar di the Massachusetts Institute of Technology, di mana dia mendapat the E.M. Baker Award, hadiah pengajaran institut yang dipilih hanya oleh para mahasiswa. “Chaos,” Seri 24 kuliahnya mengenai teori kekacauan, telah difilmkan dan diproduksi pada tahun 2008 oleh The Teaching Company. Yang terbaru, dia adalah pengarang “The Calculus of Friendship,” kisah 30 tahun surat-menyuratnya dengan guru kalkulus SMU. Pada seri ini, yang muncul tiap Senin, dia membawa pembaca dari dasar-dasar matematika menuju misteri.

10 Tanggapan

  1. bener2 artikel yang mantap cak eko

    thx sudah berbagi🙂

  2. bagus Mas Eko,

    btw,punya terjemahan bebas dari “the brief history of time” by stephen hawking, gak?

  3. Subhanallah. Harusnya ini diajarkan di sekolah.

    • Mbak Nina, sebenarnya sudah diajarkan di sekolah. cuma saya belum mendapatkan yang gaya mengajarnya komunikatif. Eko

  4. Salam Kenal!!

    Hai BRo..Bagi Yang Mau Cross Back Tukeran Link..

    Mau Tukeran Link Klik Aja Disini..

    http://kurn0209911.wordpress.com/tukeran-link/

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: