Kelompok Batu

Memandang angka-angka sebagai kelompok batu mungkin saja aneh, tetapi cara ini sebenarnya sama tuanya dengan matematika itu sendiri. Kata “calculate” berasal dari kata latin “calculus,” yang berarti batu-batu kecil untuk menghitung. Kamu tidak harus menjadi Einstein (kata Jerman yang artinya “sebuah batu”) untuk menikmati bekerja dengan angka, tetapi mungkin membayangkan batu-batu di pikiranmu akan membantu.

Kali ini kita ngobrol tentang aritmetika. Aritmetika bisa serius bisa juga asyik.

Sisi serius adalah semua yang telah kita pelajari di sekolah: bagaimana bekerja dengan lajur-lajur angka, menambahnya, menguranginya, menyimpulkannya untuk laporan pajak dan laporan akhir-tahun. Sisi ini penting, praktis dan – sayangnya untuk banyak orang – sama sekali nggak asyik.

Sisi asyik dari aritmetika jarang dikenal, kecuali kamu pernah belajar matematika tingkat lanjut. Eit tunggu dulu, tingkat lanjut bukan berarti rumit, lho. Sama seperti anak kecil yang penuh rasa ingin tahu.

Di dalam buku “A Mathematician’s Lament,” Paul Lockhart menyajikan pendekatan di mana angka-angka diperlakukan lebih nyata daripada biasanya: dia meminta kita membayangkan angka-angka sebagai sekelompok batuan. Contohnya angka enam berarti sekelompok batuan seperti ini:

Apa menariknya, menurutmu. Kamu benar – kecuali ada proses lanjutan, semuanya terlihat sama saja. Kreativitas kita akan timbul pada proses apa yang kita inginkan terhadap angka-angka itu.

Misalnya, anggap beberapa kelompok batu mempunyai 1 hingga 10 batu, tanyakan mana di antara kelompok batu ini yang dapat disusun menjadi bilangan bujursangkar. Hanya dua kelompok yang bisa: 4 dan 9. Karena 4 = 2 × 2 dan 9 = 3 × 3; dua bilangan ini benar-benar membentuk bujursangkar.

Pertanyaan lain adalah menggolongkan kelompok batu-batu ini menjadi berbentuk persegi panjang dengan dua baris. Kelompok yang bisa adalah yang berisi 2,4,6,8,atau 10 batu; dengan kata lain angkanya harus “genap”. Angka-angka yang lain – angka-angka ganjil – selalu ada satu batu yang menyembul keluar.

Namun, bukan berarti angka-angka ganjil tidak cocok. Jika dua angka ganjil sembarang kita jumlahkan maka selisihnya akan saling melengkapi dan jumlahnya menjadi genap; Ganjil + Ganjil = Genap

Bicara soal persegi panjang, beberapa angka seperti 2, 3, 5, 7 benar-benar tidak berdaya. Angka-angka ini sama sekali tak dapat membentuk persegi panjang. Angka-angka aneh dan kaku ini adalah bilangan “prima” yang terkenal itu.

Nah, kita sekarang tahu bahwa tiap angka punya ciri khas tersendiri. Kalau kamu ingin tahu semua ciri khasnya, jangan terpaku pada angka-angka itu satu per satu, cobalah gabungkan angka-angka itu.

Contohnya, alih-alih menambahkan dua angka ganjil, tambahkan seluruh angka-angka ganjil mulai dari 1:
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Subhanalloh. Jumlahnya selalu membentuk bujursangkar. (di atas telah kita buktikan bahwa 4 dan 9 berpola bujursangkar karena 16 = 4 × 4, dan 25 = 5 × 5.) Segera dapat kita periksa bahwa aturan ini juga berlaku untuk angka-angka ganjil yang lebih dan lebih besar; bahkan berlanjut terus hingga tak-terhingga. Lalu apa hubungan antara angka-angka ganjil dengan angka-angka simetris klasik yang membentuk bujursangkar? Dengan menyusun batu secara benar, kita akan tahu hubungannya.

Kuncinya adalah angka-angka ganjil dapat membentuk huruf L. Dan jika kamu menumpuk bentuk L berurutan, kamu dapatkan bujursangkar !

Gaya pemikiran ini muncul dalam novel menarik “The Housekeeper and the Professor” karangan Yoko Ogawa. Seorang perempuan muda yang pintar tetapi tidak sekolah dengan anaknya yang berusia 10 tahun, bekerja sebagai pembantu dengan tugas merawat seorang professor matematika yang menderita kerusakan otak sehingga hanya mampu mengingat selama 80 menit saja. Professor ini terkucil di rumahnya dan hanya ditemani angka-angkanya. Dia ingin berbicara dengan pembantu itu dengan satu-satunya cara yang ia tahu: bertanya soal ukuran sepatunya dan ngobrol sana-sini soal statistik. Professor juga menyukai anak pembantu itu, yang dipanggilnya Akar, karena kepala bagian atasnya mirip simbol akar kuadrat:

Suatu hari Professor memberi teka-teki pada Akar: dapatkah dia menjumlahkan seluruh angka dari 1 hingga 10? Setelah Akar menjumlahkannya dengan hati-hati dan mendapatkan angka 55, professor memintanya mencari cara lain yang lebih baik. Dapatkah dia menjawabnya tanpa menambahkannya? Akar menendang kursi dan berteriak,” Ini tidak adil !”.

Tetapi sedikit demi sedikit pembantu itu ikut-ikutan tertarik dalam dunia angka. Lalu dia mencoba menjawabnya sendiri. Katanya,” Aku heran kenapa aku begitu tertarik dengan soal matematika untuk anak kecil. Apa untungnya? Awalnya aku cuma ingin menyenangkan professor tetapi lambat laun aku seperti bertarung dengan soal itu. Saat bangun pagi persamaan itu menanti:
1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55
dan membuntutiku sepanjang hari, seperti menempel di mataku hingga tak dapat kuabaikan.”

Ada beberapa cara untuk menjawab soal professor (pikirkan berapa lama yang kamu temukan). Dia mempunyai pendapat soal persamaan di atas. Dia melambangkan penjumlahan dari 1 hingga 10 seperti segitiga batu-batu, dengan 1 batu pada baris pertama, 2 batu pada baris kedua dan seterusnya, hingga 10 batu pada baris ke-10:

Segera terlihat gambar ini menunjukkan ada ruang kosong. Hanya terisi separuhnya. Nah, kreativitas muncul. Jika kamu menyalin segitiga itu lalu membaliknya atas-bawah dan isi ruang kosongnya, kamu dapatkan bentuk yang jauh lebih sederhana: persegi panjang 10 baris x 11 batu, atau jumlahnya 110.

Karena segitiga asal separuh dari persegi panjang ini, maka jumlahnya adalah separuh dari 110, yaitu 55.

Memandang angka-angka sebagai kelompok batu mungkin saja aneh, tetapi cara ini sebenarnya sama tuanya dengan matematika itu sendiri. Kata “calculate” berasal dari kata latin “calculus,” yang berarti batu-batu kecil untuk menghitung. Kamu tidak harus menjadi Einstein (kata Jerman yang artinya “sebuah batu”) untuk menikmati bekerja dengan angka, tetapi mungkin membayangkan batu-batu di pikiranmu akan membantu.
________________________________________
Diterjemahkan dengan bebas dari Rock Groups karya STEVEN STROGATZ* dari situs NY Times dengan tautan http://opinionator.blogs.nytimes.com/2010/02/07/rock-groups/.

*Steven Strogatz adalah professor matematika terapan di Cornell University. Pada tahun 2007 dia menerima the Communications Award, sebuah penghargaan seumur hidup atas komunikasi matematika kepada masyarakat umum. Dia pernah mengajar di the Massachusetts Institute of Technology, di mana dia mendapat the E.M. Baker Award, hadiah pengajaran institut yang dipilih hanya oleh para mahasiswa. “Chaos,” Seri 24 kuliahnya mengenai teori kekacauan, telah difilmkan dan diproduksi pada tahun 2008 oleh The Teaching Company. Yang terbaru, dia adalah pengarang “The Calculus of Friendship,” kisah 30 tahun surat-menyuratnya dengan guru kalkulus SMU. Pada seri ini, yang muncul tiap Senin, dia membawa pembaca dari dasar-dasar matematika menuju misteri.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: