Selalu ada kamar (kosong) di Hotel Hilbert

Hari ini adalah hari ke-100 dia masuk sekolah. Dia sangat bersemangat dan bercerita padaku apapun yang dia tahu mengenai angka 100, termasuk bahwa 100 adalah angka genap. Lalu dia bercerita bahwa 101 adalah angka ganjil dan 1 juta adalah genap dan seterusnya. Lalu dia terdiam dan bertanya:” Tak-terhingga itu genap atau ganjil?

Pada akhir Februari lalu aku menerima surel dari seorang pembaca bernama Kim Forbes. Anaknya Ben yang berumur 6 tahun bertanya soal matematika yang tak dapat dijawabnya, dia berharap aku bisa membantunya:

Hari ini adalah hari ke-100 dia masuk sekolah. Dia sangat bersemangat dan bercerita padaku apapun yang dia tahu mengenai angka 100, termasuk bahwa 100 adalah angka genap. Lalu dia bercerita bahwa 101 adalah angka ganjil dan 1 juta adalah genap dan seterusnya. Lalu dia terdiam dan bertanya:” Tak-terhingga itu genap atau ganjil?

Aku jelaskan bahwa tak-terhingga itu tidaklah ganjil atau genap. Tak-terhingga bukanlah angka biasa dan tidak sesuai dengan aturan aritmetika. Akan terjadi kontradiksi bila tak-terhingga mengikuti aturan aritmetika. Contohnya, “jika tak-terhingga adalah ganjil, 2 kali tak-terhingga menjadi genap. Tapi keduanya sama-sama tak-terhingga! Maka konsep genap dan ganjil tidak berlaku untuk tak-terhingga .”

Kim menjawab:

Terimakasih. Ben sangat puas dengan jawaban itu dan dia menyukai ide bahwa tak-terhingga terlalu besar untuk menjadi genap atau ganjil.

Meskipun konsepnya membingungkan (tak-terhingga tidaklah ganjil atau genap, bukan keduanya), Ben dapat memahami gambaran besarnya. Tak-terhingga sungguh aneh.

Salah satu ciri anehnya ditemukan sekitar akhir tahun 1800 oleh Georg Cantor.  Saat itu Cantor sedang mengerjakan “teori deret”. Cantor tertarik dengan deretan angka dan posisi-posisi yang tak-terhingga, Misalnya deret {1, 2, 3, 4…} dari bilangan asli dan posisi-posisinya berada di garis bilangan. Dia  mendefinisikan cara yang teliti untuk membandingkan deret tak-terhingga  dan — mengagetkan sekali –menemukan  bahwa beberapa tak-terhingga lebih besar dari yang lain. Teori Cantor ini tidak hanya ditentang tetapi memicu kemarahan. Henri Poincaré, salah satu matematikawan terkemuka saat itu menyebutnya sebagai penyakit. Tetapi ahli matematika lain, David Hilbert, menyebutnya sebagai hasil karya yang bagus dan mengatakan, ”Tidak akan ada yang mengusir kita dari Surga yang diciptakan oleh Cantor.”

Tujuanku di sini adalah membawamu sekilas ke surga ini. Namun aku tidak langsung bekerja dengan deret angka dan posisi, ijinkan aku mengikuti pendekatan yang diperkenalkan oleh Hilbert sendiri. Dia menjelaskan dengan cerdas keanehan dan keajaiban teori Cantor dengan mengisahkan sebuah hotel berkelas yang terkenal dengan hotel Hilbert.

Hotel Hilbert tidak hanya mempunyai banyak kamar bahkan jumlah kamarnya tak-terhingga. Kapan saja seorang tamu datang, pengelola akan memindahkan penghuni kamar 1 ke kamar 2, kamar 2 ke kamar 3, dan seterusnya. Sehingga menyediakan kamar 1 untuk pendatang baru sekaligus tetap menyediakan kamar-kamar untuk lainnya (meskipun mereka pasti tidak nyaman karena nantinya akan sering dipindah-pindah).

Andaikan datang banyak tamu baru dengan jumlah tak-terhingga, mereka semua berkeringat dan mudah marah. Tak masalah. Pengelola hotel dengan tenang memindahkan penghuni kamar 1 ke kamar 2, kamar 2 ke kamar 4, kamar 3 ke kamar 6 dan seterusnya. Trik ganda ini membuka semua kamar-kamar bernomer ganjil – tak-terhingga jumlahnya —  untuk para tamu baru.

Tengah malam datanglah berbis-bis penumpang ke resepsionis. Jumlah bisnya tak-terhingga. Susahnya, tiap bis berisi penumpang yang berjumlah tak-terhingga pula. Semua mudah marah lagi. Mereka menuntut hotel itu menyediakan kamar sesuai slogannya, “Selalu ada kamar kosong di hotel Hilbert.”

Pengelola sudah pernah mengalami hal semacam ini. Dia akan mengatasinya bertahap.

Pertama dia lakukan trik ganda. Trik ini menempatkan penghuni saat ini ke kamar-kamar bernomer genap sehingga mengosongkan semua kamar bernomer ganjil – awal yang baik karena dia punya jumlah kamar tak-terhingga.

Tetapi, cukupkah? Apakah benar-benar ada cukup kamar bernomer ganjil tersedia untuk para tamu baru yang sangat gaduh ini? Kelihatannya tak mungkin, sebab jumlah tamunya membentuk “bujursangkar tak-terhingga”. (Kenapa bujursangkar tak-terhingga? Karena ada tak-terhingga orang dalam tiap tak-terhingga bis, atau tak-terhingga kali tak-terhingga.)

Di sinilah logika tak-terhingga menjadi sangat aneh.

Untuk memahami bagaimana pengelola memecahkan masalah ini, gambar di bawah menunjukkan semua orang yang harus dilayaninya.

Tentu saja, kami tak dapat menunjukkan semua orang di sini karena bagannya akan tak-terhingga ke kolom dan baris. Tetapi gambar versi terbatas seperti ini sudah cukuplah. Maksudnya sembarang penumpang (misalnya Tante Maryam yang sedang berlibur ke Mataram) pasti tampak pada bagan ini di suatu tempat, bila kolom dan barisnya kita masukkan. Dengan cara ini, tiap penumpang pada tiap bis tetap diperhitungkan. Sebut saja sembarang penumpang maka dia akan tampak pada kolom dan baris tertentu pada bagan.

Tantangannya adalah bagaimana menyelesaikan pekerjaan ini melalui skema di atas secara sistematis. Dia perlu mengembangkan skema ini untuk mengatur kamar-kamar sehingga pada akhirnya tiap orang mendapat kamar, setelah sejumlah terhingga orang lainnya dilayani.

Sayangnya, pengelola terdahulu tidak memahami skema ini sehingga kekacauan terjadi. Ketika sekumpulan bis yang serupa datang, dia begitu bingung memroses semua penumpang dalam bis 1 sehingga dia tidak mendatangi bis-bis lainnya, membuat para penumpang di bis-bis itu berteriak-teriak dan marah-marah. Tampak pada diagram di bawah, strategi rabun hanya melayani jalur sepanjang baris 1, tak akan pernah kembali.

Tetapi pengelola yang baru telah menguasai keadaan. Alih-alih melayani bis pertama saja, dia berkelok-kelok di dalam diagram dan membentuk diagonal sebagai berikut:

Dia mulai dengan penumpang 1 di bis 1 dengan memberinya kamar kosong pertama. Kamar kosong kedua dan ketiga diberikan pada penumpang 2 di bis 1, lalu penumpang 1 di bis 2, keduanya tergambar pada diagonal kedua dari sudut diagram. Kemudian, pengelola meneruskan dengan diagonal ketiga. Kunci kamar diserahkan pada penumpang 1 di bis 3, penumpang 2 di bis 2 dan penumpang 3 pada bis 1.

Aku berharap cara pengelola – bergerak dari satu diagonal ke diagonal lain – sudah jelas dari gambar di atas sehingga kamu yakin sembarang orang akan mendapat kamar kosong setelah sejumlah terhingga langkah.

Jadi, tepat sesuai slogannya, selalu ada kamar kosong di hotel Hilbert.

Argumen yang kubawakan tadi adalah salah satu yang terkenal di teori deret tak-terhingga. Cantor memakainya untuk membuktikan bahwa ada tepat sama banyaknya antara pecahan positif (nisbah p/q dengan p dan q adalah bilangan bulat positif) dan bilangan asli (1, 2, 3, 4,…). Pernyataan ini jauh lebih kuat daripada sekedar mengatakan kedua deret ini tak-terhingga. Keduanya tak-terhingga tepat sepanjang kondisi tertentu yaitu selama “hubungan satu-satu” dapat diciptakan di antara keduanya.

Dan ternyata “hubungan satu-satu” ini memang ada. Hubungan ini membentuk daftar yang kami telah menemukannya. Pecahan p/q bersesuaian dengan penumpang p di bis q, dan dari argumen di atas tampak bahwa tiap pecahan itu dapat dipasangkan dengan bilangan asli tertentu 1, 2, 3,…, yang melambangkan nomer kamar di hotel Hilbert.

Tetapi, Cantor membuktikan bahwa beberapa deret tak-terhingga ternyata lebih besar dari daftar di atas. Khususnya, deret bilangan nyata antara 0 dan 1 merupakan deret “tak terhitung” – deret ini tak dapat diletakkan dalam hubungan satu-satu dengan bilangan asli. Pada industri jasa, ini berarti jika semua bilangan nyata ini muncul di resepsionis dan memencet bel, tidak akan ada cukup kamar untuk mereka semua, meskipun di hotel Hilbert.

Buktinya melalui kontradiksi sebagai berikut. Andaikan bilangan nyata bisa mendapatkan kamar sendiri. Maka tabel penghuni ditunjukkan oleh dijit di belakang koma dan terdaftar ke nomer kamar, akan terlihat seperti berikut:

Kamar 1:          .6708112345…

Kamar 2:          .1918676053…

Kamar 3:          .4372854675…

Kamar 4:          .2845635480…

Ingat, anggap ini daftar yang lengkap. Tiap bilangan nyata antara 0 dan 1 dianggap muncul di suatu tempat, tempat terhingga di dalam tabel.

Cantor menunjukkan bahwa banyak angka yang hilang dari daftar ini; itulah kontradiksinya. Misalnya, untuk membentuk angka yang tidak tampak di daftar di atas, turunilah diagonal dan buat angka baru dari angka-angka di bawah yang ditebalkan:

Kamar 1:          .6708112345…

Kamar 2:          .1918676053…

Kamar 3:          .4372854675…

Kamar 4:          .2845635480…

Angka yang baru adalah .6975…

Tetapi ini belum selesai. Langkah berikutnya adalah mengganti masing-masing dijit ini dengan sembarang dijit antara 1 dan 8. Contohnya, ganti 6 menjadi 3, 9 menjadi 2, 7 menjadi 5 dan seterusnya.

Muncullah angka baru .325.. yang buntu. Angka baru ini pasti tidak berada di Kamar 1 karena dijit pertamanya berbeda. Juga tidak di Kamar 2 karena digit keduanya berbeda. Secara umum, angka ini berbeda dari angka ke-n di tempat desimal ke-n. sehingga angka ini tidak tampak di manapun pada daftar !

Kesimpulannya adalah hotel Hilbert tak dapat menampung semua angka nyata. Sederhana saja alasannya, terlalu banyak angka nyata, tak-terhingga di atas tak-terhingga.


Diterjemahkan dengan bebas dari Hilbert Hotel karya STEVEN STROGATZ* dari situs NY Times dengan tautan http://opinionator.blogs.nytimes.com/2010/05/09/the-hilbert-hotel/

*Steven Strogatz adalah professor matematika terapan di Cornell University. Pada tahun 2007 dia menerima the Communications Award, sebuah penghargaan seumur hidup atas komunikasi matematika kepada masyarakat umum. Dia pernah mengajar di the Massachusetts Institute of Technology, di mana dia mendapat the E.M. Baker Award, hadiah pengajaran institut yang dipilih hanya oleh para mahasiswa. “Chaos,” Seri 24 kuliahnya mengenai teori kekacauan, telah difilmkan dan diproduksi pada tahun 2008 oleh The Teaching Company. Yang terbaru, dia adalah pengarang “The Calculus of Friendship,” kisah 30 tahun surat-menyuratnya dengan guru kalkulus SMU. Pada seri ini, yang muncul tiap Senin, dia membawa pembaca dari dasar-dasar matematika menuju misteri.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: