Pembagian dan bukan bagian

Christy berjalan dengan susah payah untuk mengambil sebatang kapur dengan kaki kirinya. Kemudian dia menurunkan kapur itu ke lantai. Dia berusaha menulis angka 1, lalu garis miring dan coretan yang tidak jelas. Sebenarnya itu angka 16, tetapi angka 6-nya keluar. Kecewa, dia menghapus angka 6 dengan tumitnya dan menulis lagi. Kali ini kapurnya bergerak terlalu jauh, mencoret angka 6 sehingga tak dapat dibaca. ”Itu cuma coretan anak bingung,” ayahnya mendengus lalu berpaling. Christy menutup matanya dan mundur, kelelahan.

Ada kisah menarik mengenai aritmetika, namun kebanyakan kita melewatkannya karena kabut pembagian yang rumit. Ini adalah kisah pencarian angka yang lebih serbaguna.

Bilangan asli 1, 2, 3 dan seterusnya sudah cukup jika kita hanya ingin menghitung, menambah dan mengalikan. Namun saat kita ingin mengetahui berapa banyak sisanya setelah kita mengurangi maka kita terpaksa menciptakan bilangan baru – nol – dan karena ada utang maka kita memerlukan bilangan negatif juga. Kelompok bilangan ini disebut bilangan “bulat”. Maksudnya bilangan yang mengandung bilangan asli tetapi jauh lebih dahsyat karena dapat memproses pengurangan juga.

Masalah baru muncul saat kita ingin membagi bilangan. Membagi bilangan tidak selalu memungkinkan…kecuali kita memperluas sekali lagi, dengan menciptakan pecahan. Pecahan adalah bagian-bagian bilangan bulat – istilahnya “bilangan rasional.” Sayangnya, di sinilah banyak siswa merasa sulit dalam matematika.

Ada banyak hal membingungkan mengenai pembagian dan dampaknya. Namun mungkin yang paling rumit adalah begitu banyak cara berbeda untuk melambangkan pecahan.

Jika anda memotong roti lapis coklat di tengah-tengah menjadi dua bagian yang sama, anda dapat mengatakan bahwa tiap bagian adalah “setengah” roti. Atau anda dapat menyebutnya 1/2 , artinya 1 dari 2 bagian yang sama (tanda garis miring mengingatkan bahwa sesuatu telah dipecah.). Cara ketiga adalah menyebutnya 50%, artinya 50 bagian dari 100. Masih ada lagi, anda dapat memakai notasi desimal dan menyebutnya 0,5 dari keseluruhan roti.

Banyaknya penyebutan ini adalah salah satu alasan kebingungan kita terhadap pecahan, persentase dan decimal. Contoh yang mengharukan terlihat pada film “Kaki kiriku,” kisah nyata yang dialami Christy Brown, seorang penulis, pelukis dan penyair Irlandia. Dilahirkan dalam keluarga besar kelas pekerja, dia menderita kerusakan otak sehingga sangat sulit baginya untuk berbicara atau menggerakkan organ geraknya kecuali kaki kirinya. Saat masih anak-anak dia sering dianggap gila terutama oleh ayahnya, yang membencinya dan memperlakukannya dengan kejam.

Adegan mengharukan terjadi di sekitar meja dapur. Salah satu kakak perempuan Christy mengerjakan PR matematikanya dengan serius, duduk di dekat ayahnya, sedangkan Christy seperti biasa dipinggirkan di pojok ruangan, kakinya bersilangan di kursinya. Kakaknya memecah kebisuan:”Berapa 25 persen dari seperempat?” tanyanya. Ayah berpikir. “Dua puluh lima persen dari seperempat? Ah, pertanyaan bodoh? Maksudku, 25 persen adalah seperempat. Kamu tak bisa mempunyai seperempat dari seperempat.” Kakaknya berkata, “Bisa, Yah. Kau bisa, Christy?” Ayah:”Ha! Dia tahu apa?”

Christy berjalan dengan susah payah untuk mengambil sebatang kapur dengan kaki kirinya. Kemudian dia menurunkan kapur itu ke lantai. Dia berusaha menulis angka 1, lalu garis miring dan coretan yang tidak jelas. Sebenarnya itu angka 16, tetapi angka 6-nya keluar. Kecewa, dia menghapus angka 6 dengan tumitnya dan menulis lagi. Kali ini kapurnya bergerak terlalu jauh, mencoret angka 6 sehingga tak dapat dibaca. ”Itu cuma coretan anak bingung,” ayahnya mendengus lalu berpaling. Christy menutup matanya dan mundur, kelelahan.

Yang tersirat dari adegan yang sangat dramatis di atas adalah konsep ayah mengenai keutuhan. Apa yang membuatnya bersikeras bahwa anda tak bisa mempunyai seperempat di dalam seperempat? Mungkin dia berpikir anda hanya bisa mempunyai seperempat dari sesuatu yang terdiri dari empat bagian yang sama. Nah, beliau gagal memahami bahwa semuanya terbuat dari empat bagian yang sama. Pada kasus di mana sesuatu memang sudah seperempat, keempat bagian yang sama terlihat seperti ini:

Karena keenambelas potongan mungil ini membentuk roti yang utuh, maka tiap potongan adalah 1/16 – jawaban yang Christy berusaha menulisnya. Konsep tentang keutuhan, pada jaman digital ini, terjadi mengenai pembulatan di internet beberapa tahun yang lalu. Seorang pelanggan yang kecewa bernama George Vaccaro merekam dan mengunggah pembicaraan telponnya dengan dua orang layanan pelanggan di Verizon Wireless. Vaccaro mengeluh bahwa dia telah memakai data dengan tariff 0,002 sen per kilobyte tetapi tagihannya 0,002 dollar per kilobyte, 100 kali lebih mahal. Percakapan ini masuk daftar 50 besar di bagian komedi Youtube.

Sekitar pertengahan rekaman, hal yang menarik terjadi pada dialog antara Vaccaro dan Andrea, manajer Verizon:

V: “Apakah anda tahu ada perbedaan antara satu dollar dan satu sen?”

A: “Tentu saja.”

V: “Apakah anda tahu ada perbedaan antara setengah dollar dan setengah sen?”

A: “Tentu saja.”

V: ”Kalau begitu anda tentu tahu perbedaan 0,002 dollar dan 0,002 sen?”

A: “Tidak”

V:”Tiidakk?”

A: “Maksud saya tidak ada…tidak ada 0,002 dollar.”

Beberapa saat kemudian Andrea berkata,”Biasanya sedollar adalah 1,00, bukan? Nah bagaimana rupa 0,002 dollar ? Saya belum pernah mendengar 0,002 dollar..kurang dari 1 sen.

Dari percakapan di atas terlihat apa yang membingungkan mengenai decimal. Saat kelas 2 SMP, guru kami Bu Setia mengajarkan bagaimana mengubah pecahan menjadi desimal. Dengan pembagian yang panjang kami menemukan bahwa beberapa pecahan menghasilkan bilangan decimal yang berhenti di angka nol. Contohnya, ¼=0,2500…, yang bisa dipendekkan dengan 0,25, sebab semua angka nol dibelakang tidak berarti. Beberapa pecahan menghasilkan desimal yang berulang, misalnya

5/6 =0,8333…

Kegemaran saya adalah 1/7, yang mempunyai lambang desimal berulang setiap enam digit:

1/7 =0,142857142857….

Kebingungan terjadi saat Bu Setia menunjukkan bila anda melipat-tigakan kedua sisi persamaan sederhana berikut:

1/3 =0,3333…,

Anda terpaksa menyimpulkan bahwa 1 harus sama dengan 0,9999…

Saat itu saya membantah beliau bahwa keduanya tidaklah sama. Berapapun banyaknya angka 9 yang beliau tulis, saya juga bisa menulis 0 sebanyak mungkin pada 1,0000… ketika kita mengurangkan angkanya dengan angka saya, maka masih ada selisih yang amatlah mungil, seperti 0,0000…01.

Seperti ayah Christy dan manajer Verizon, nurani saya sulit menerima sesuatu yang telah terbukti. Saya melihatnya tetapi saya menolak meyakininya. (mengingatkan kita pada kaum Yahudi di dalam Al-Quran.)

Namun hal ini bisa memburuk – atau membaik, jika anda merasa syaraf anda bergetar. Kembali ke Bu Setia, apa yang membuat desimal tidak bisa berhenti atau berulang secara periodik? Contoh di bawah in bisa membuat perut mules:

0,12122122212222…

Kita dapat merancang bilangan desimal di atas dengan cara memperbanyak angka 2 setiap bergerak ke kanan. Tidak mungkin mengubah bilangan desimal ini menjadi sebuah pecahan. Pecahan selalu menghasilkan desimal yang berhenti atau berulang secara berkala – bisa dibuktikan . Karena angka desimal ini tidak bisa, maka dia bukanlah pecahan. Dia ‘irrasional.”

Sebegitu anehnya bilangan desimal ini, anda mungkin menganggap angka demikian sangat jarang. Sebaliknya, angka ini mudah ditemui. Pada kondisi tertentu di mana akurasi sangat diperlukan, hampir semua bilangan desimal adalah irrasional. Angka-angkanya terlihat acak.

Begitu anda menerima fakta yang mengagumkan ini, semuanya berubah. Semua angka dan pecahan, sebelumnya terlihat indah dan ramah, sekarang menjadi langka dan eksotik. Semua angka-angka itu menancap di dinding kelas anda? Jangan bilang siapa-siapa, banyak kekacauan di sana.


Diterjemahkan dengan bebas dari Division and its discontent karya STEVEN STROGATZ* dari situs NY Times dengan tautan http://opinionator.blogs.nytimes.com/2010/02/21/division-and-its-discontents/.

Steven Strogatz adalah professor matematika terapan di Cornell University. Pada tahun 2007 dia menerima the Communications Award, sebuah penghargaan seumur hidup atas komunikasi matematika kepada masyarakat umum. Dia pernah mengajar di the Massachusetts Institute of Technology, di mana dia mendapat the E.M. Baker Award, hadiah pengajaran institut yang dipilih hanya oleh para mahasiswa. “Chaos,” Seri 24 kuliahnya mengenai teori kekacauan, telah difilmkan dan diproduksi pada tahun 2008 oleh The Teaching Company. Yang terbaru, dia adalah pengarang “The Calculus of Friendship,” kisah 30 tahun surat-menyuratnya dengan guru kalkulus SMU. Pada seri ini, yang muncul tiap Senin, dia membawa pembaca dari dasar-dasar matematika menuju misteri.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: