Logaritma dan Lipatan Kertas

Ambil selembar kertas A4, lipat menjadi dua bagian yang sama dalam satu arah saja (horisontal saja atau vertikal saja). Ulangi hingga anda tak sanggup melipatnya. Berapa kali? Insya Alloh tak lebih dari 8 kali !!!

Jika anda penggemar acara televisi tahun 80-an, anda pasti ingat serial cerdas “Moonlighting.” Serial ini memiliki dialog yang hidup dan hubungan romantis antara dua bintangnya, yaitu Cybill Shepherd dan Bruce Willis. Keduanya berperan sebagai detektif swasta dengan nama Maddie Hayes dan David Addison. Ketika menyelidiki sebuah kasus yang berat, David bertanya pada asisten koroner tentang dugaannya mengenai kasus itu. “Jelaskan padaku,” kata si asisten. ”Kamu tahu apa yang tidak kuketahui ?” David menjawab, “Logaritma? “  Lalu, sambil melihat wajah Maddie: “Ada apa? Kamu tahu logaritma?”

Dialog atas menggambarkan bagaimana tanggapan orang soal logaritma. Namanya yang aneh hanyalah sebagian dari masalah. Banyak orang tidak memakainya lagi setelah lulus SMU, setidaknya tidak secara sadar, dan mereka mengabaikan logaritma dalam kehidupan sehari-hari.

Hal yang sama juga terjadi pada fungsi-fungsi lain dalam aljabar dan pra-kalkulus. Fungsi pangkat, fungsi eksponensial – apa maksud semuanya ini? Tujuan saya dalam tulisan ini adalah membantu anda menyukai semua manfaat dari fungsi-fungsi itu, meskipun anda tidak pernah sempat memencet tombol kalkulator.

Matematikawan memerlukan fungsi sebagaimana seorang ahli bangunan membutuhkan palu dan bor. Alat-alat mengubah sesuatu. Demikian pula fungsi. Nyatanya, matematikawan sering menyebut fungsi sebagai “transformasi” karena hal ini. Alih-alih berbahan baku kayu atau baja, fungsi memproses angka dan bentuk dan, kadang-kadang, fungsi lain.

Agar maksud saya jelas, mari membuat grafik untuk persamaan berikut:

Mungkin anda masih ingat bagaimana membuatnya: anda menggambar diagram xy dengan x pada posisi horizontal dan y vertikal. Lalu untuk tiap nilai x, anda hitung nilai y yang sesuai dan petakan bersama sebagai satu titik pada diagram xy. Contohnya, jika nilai x adalah 1, persamaan menghasilkan y sama dengan 4 minus 1 kuadrat, yaitu 4 minus 1, atau 3. Maka (x,y) = (1,3) sebagai suatu titik pada grafik. Setelah menghitung dan memetakan beberapa titik lagi, munculllah grafik berikut:

Bentuk lengkung pada kurva dihasilkan oleh tang matematika. Dalam persamaan y, fungsi yang mengubah x menjadi x2 bekerja sangat mirip dengan alat-alat untuk membengkokkan dan menarik sesuatu. Ketika diterapkan pada tiap titik pada poros-x (yang bisa anda bayangkan seperti sepotong kabel lurus), tang itu membengkokkan dan menarik kabel itu menjadi busur yang menghadap ke atas seperti gambar di atas.

Lalu apa peran angka 4 pada persamaan y = 4 – x2?  Perannya seperti paku untuk menggantung lukisan di dinding. Paku itu mengangkat kabel yang membusur ke atas sejauh 4 unit. Karena angka ini menaikkan semua titik dengan tinggi yang sama, maka disebut “fungsi konstan.” Contoh ini menunjukkan dua sifat fungsi. Pada satu sisi, fungsi adalah alat: x2 membengkokkan potongan poros-x dan angka 4 menaikkannya. Pada sisi lain, fungsi ini sebagai materi pembangun: angka 4 dan –x2 dapat dianggap sebagai bagian-bagian dari fungsi yang lebih rumit, 4 – x2 , seperti halnya kabel, baterai dan transistor adalah komponen dari radio.

Begitu anda mulai melihat sesuatu dengan cara di atas, anda akan mengamati fungsi-fungsi di mana pun. Kurva busur di atas – secara teknis dinamakan “parabola”—adalah perwujudan dari fungsi kuadrat yang beroperasi di balik layar. Carilah fungsi ini saat anda mengambil sesendok air terjun atau melihat lintasan bola basket yang berbentuk busur menuju ring. Dan sempatkan beberapa menit saat anda berada di bandara untuk melihat lintasan parabola terbesar ketika pesawat lepas landas.

Parabola dan konstanta terkait dengan kelas fungsi yang lebih lebar – “fungsi perpangkatan” dari bentuk xn, di mana peubah x diperbesar sebanyak bilangan pangkat n. Untuk parabola, nilai n=2; untuk konstanta, n=0.

Mengubah nilai n juga menghasilkan alat yang berguna lainnya. Contoh, memperbesar x hingga pangkat pertama (n = 1) menghasilkan fungsi yang bekerja seperti garis, pertumbuhan atau penurunan yang stabil. Fungsi ini disebut “fungsi linear” karena grafik xy berbentuk garis. Jika anda meletakkan timba di luar saat hujan, air yang terkumpul di dalam timba akan bertambah secara linear sepanjang waktu.

Alat berguna lainnya adalah fungsi inverse (pembalik) kuadrat 1/x2, yang berarti nilai n = –2. Fungsi ini bagus untuk menggambarkan bagaimana gelombang dan gaya makin mengecil ketika menyebar pada area tiga dimensi —  misalnya, bagaimana suara semakin melunak ketika bergerak menjauhi sumbernya.

Fungsi perpangkatan seperti ini merupakan batu-bata pembangun yang dipakai ilmuwan dan insinyur untuk menggambarkan pertumbuhan dan penurunan dalam bentuk yang paling sederhana.

Namun jika anda perlu dinamit matematika, ini saatnya membongkar fungsi eksponensial. Fungsi ini menampilkan segala jenis pertumbuhan ledakan, dari reaksi berantai nuklir hingga pertumbuhan bakteri di cawan petri. Fungsi yang paling terkenal adalah fungsi 10x, di mana 10 diperbesar sebanyak pangkat x. Pastikan anda tidak bingung dengan fungsi pangkat sebelumnya. Di sini perpangkatan (pangkat x) adalah peubah, dan nilai dasar (angka 10) adalah konstanta – sedangkan pada fungsi pangkat seperti x2, adalah sebaliknya. Perubahan ini membuat keduanya sangatlah berbeda. Pertumbuhan eksponensial amatlah sangat cepat dan hampr tak terbayangkan.

Itulah mengapa sangat sulit menekuk selembar kertas menjadi setengahnya lebih dari 7 atau 8 kali. Tiap tekukan kira-kira menggandakan ketebalan lipatan sebelumnya, sehingga bertumbuh secara eksponensial. Sedangkan panjang lipatan memendek setengahnya setiap waktu, sehingga menurun cepat secara eksponensial. Untuk kertas standar seukuran buku catatan, setelah 7 tekukan, tebal lipatan menjadi lebih tebal dari panjangnya, sehingga tak dapat ditekuk lagi. Ini bukan masalah kekuatan lipatan; untuk selembar kertas yang dianggap dapat ditekuk sebanyak n kali, hasil lipatan harus memiliki 2 lapisan yang berimpitan pada garis lurus, dan hal ini tidak terjadi bila tebal lipatan lebih tebal dari panjangnya.

Tantangan ini dianggap mustahil dipecahkan hingga Britney Gallivan, seorang siswi SMP, memecahkannya pada tahun 2002. Dia mulai dengan menurunkan rumus:

Yang memprediksi jumlah maksimum lipatan, n, dengan kertas yang tebalnya T dan panjangnya L dapat dilipat dalam satu arah. Perhatikan adanya fungsi eksponensial 2n di dalam kurung pada dua tempat – pertama menggandakan tebal lipatan pada tiap tekukan, dan kedua untuk membelah panjangnya.

Dengan memakai rumus ini, Britney menyimpulkan bahwa dia perlu memakai kertas rol toilet khusus yang panjangnya hampir 1,2 km. Pada bulan Januari 2002 dia pergi ke mal di kampung halamannya Pomona, California dan membuka gulungan kertas itu. Tujuh jam kemudian, dan dengan bantuan orangtuanya, dia memecahkan rekor dunia dengan melipat kertas itu menjadi setengahnya sebanyak 12 kali !

Secara teori, pertumbuhan eksponensial juga dapat menghitung bunga rekening bank anda. Jika uang anda bertumbuh dengan bunga tahunan sebesar r, setelah 1 tahun nilainya menjadi (1 + r) kali saldo awal tabungan anda; setelah dua tahun, (1 + r) kuadrat; dan setelah x tahun, (1 + r)x kali saldo awal anda. Karena itu keajaiban menabung yang sering kita dengar disebabkan oleh pertumbuhan eksponensial sedang beraksi.

Kembali ke logaritma. Kita memerlukan logaritma sebab amat berguna sebagai alat yang membatalkan satu sama lain. Seperti halnya pekerja bangunan perlu palu untuk memaku dan tang untuk mengambil kembali paku itu, tiap matematikawan perlu fungsi eksponensial dan logaritma. Keduanya “berkebalikan.” Maksudnya jika anda memencet angka x pada kalkulator, lalu memencet tombol 10x diikuti tombol log x, maka anda akan kembali pada angka awal anda tadi.

Logaritma adalah kompresor. Fungsi ini amat tepat untuk mengambil angka-angka yang besarnya amat bervariasi lalu memampatkan semua angka itu bersama-sama sehingga lebih mudah dikelola. Misalnya, 100 dan 100 juta berbeda sejuta-lipat, perbedaan yang menurut sebagian besar dari kita sulit disatukan. Namun logaritma keduanya hanya selisih 4-lipatan (logaritmanya 2 dan 8, karena 100 = 102 dan 100 juta=  108). Dalam percakapan sehari-hari, kita biasa memakai versi kasar logaritma saat kita membicarakan gaji antara Rp100,000 dan Rp 999,999 sebagai “enam dijit.” Angka “6” secara kasar adalah logaritma untuk kisaran gaji ini, yang faktanya membentang pada kisaran 5 dan 6.

Fungsi-fungsi memang amat mengagumkan, seperti kotak alat bagi matematikawan untuk mengerjakan banyak hal.

Sumber: Power Tools karya Steven Strogatz

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: