Group Think

Grup kasur ternyata berguna di tempat lain yang tak terduga, dari simetri-nya molekul air hingga logika sepasang saklar listrik. Inilah salah satu daya tarik group theory. Hal ini menampakkan kesatuan tersembunyi dari benda-benda yang terlihat tidak berhubungan…seperti anekdot tentang bagaimana fisikawan Richard Feynman tertunda wajib militer-nya.

Saya dan istri mempunyai gaya tidur yang berbeda dan kasur kami membuktikannya. Dia menumpuk bantal, memukul-mukul sepanjang malam dan hampir-hampir menekuk kasur. Sedangkan saya bersandar pada punggung, seperti mummi, hingga ranjang pada sisi saya membentuk gua.

Pabrik kasur menyarankan untuk membalik kasur anda secara periodik, mungkin pada orang seperti saya. Tapi bagaimana cara yang terbaik? Bagaimana anda harus membaliknya agar anda selalu nyaman bahkan ketika kasur itu sudah mulai bedah.

Brian Hayes membahas hal ini dalam buku terbarunya, “Group Theory mengenai kamar tidur.” Istilah “group” di sini maknanya adalah sekumpulan tindakan matematis – semua cara yang mungkin yang anda lakukan untuk membalik, memutar atau menggulingkan kasur sehingga kasur itu tetap terpasang rapi di ranjang.

Dengan mengamati matematika kasur secara rinci, saya ingin anda dapat memahami group theory secara umum. Group theory merupakan salah satu bagian matematika yang serba guna. Group Theory merupakan dasar mulai dari koreografi tarian dan hukum dasar fisika partikel, hingga mosaik Alhambra dan pola-pola kacau seperti gambar di bawah.

Contoh-contoh di atas menunjukkan bahwa Group Theory menjembatani seni dan sains. Group Theory menarik benang merah dari dua budaya ini – kekaguman abadi pada simetri. Namun karena Group Theory mencakup fenomena yang sangat luas, maka pastinya abstrak. Group Theory memeras simetri hingga esensinya.

Biasanya kita menganggap simetri sebagaI sifat dari suatu bentuk. Namun ilmuwan Group Theory berfokus lebih dari sekedar apa yang dapat anda lakukan pada bentuk – khususnya mengenai segala cara anda dapat mengubahnya sementara yang lain tetap sama. Lebih khusus lagi, ilmuwan mencari semua transformasi yang membuat suatu bentuk tetap tidak berubah, dengan batasan-batasan tertentu. Transformasi ini disebut “simetri” bentuk. Secara bersama-sama disebut “group”, kumpulan transformasi yang mempunyai hubungan, di mana hubungan ini mendefinisikan arsitektur paling dasar dari bentuk.

Pada kasus kasur, transformasi mengubah-ubah arah kasur itu di ruangan (inilah perubahannya) sambil tetap mempertahankan keutuhannya (inilah batasannya). Setelah debu-debunya hilang, kasur harus tetap cocok pada ranjangnya yang berbentuk persegi (ini tetap tidak berubah). Dengan aturan-aturan ini, mari kita lihat transformasi seperti apa yang tepat menjadi anggota dari grup kecil yang eksklusif ini. Ternyata hanya ada empat transformasi.

Yang pertama adalah transformasi “asal”. Maksudnya transformasi ini membiarkan kasur tak tersentuh sebagaimana sebelumnya. Ini jenis transformasi yang malas tapi populer. Transformasi ini jelas mematuhi aturan-aturan di atas tetapi tidak banyak membantu memperpanjang usia kasur anda. Namun transformasi ini tetaplah penting untuk menjadi anggota grup. Perannya seperti angka 0 untuk penjumlahan, atau 1 untuk perkalian. Matematikawan menyebutnya “elemen identitas”, maka saya akan melambangkannya dengan I.

Selanjutnya ada tiga cara untuk membalik kasur. Untuk membedakannya, mari kita tandai sudut-sudut kasur tersebut dengan menomerinya seperti di bawah ini:

Cara pertama adalah mirip dengan gambar pertama pada awal artikel ini. Pria ganteng dengan piyama bergaris-garis berusaha membalik kasur dengan sudut putar 180 derajat pada poros panjang. Saya menyebutnya H, singkatan dari “Balikan horisontal”

Cara yang lebih sembrono dalam membalik kasur adalah “Balikan vertikal” V. Manuver ini menukar kepala dengan kaki. Anda tegakkan kasur, pada sisi panjang, hingga hampir menyentuh langit-langit, lalu jatuhkan dari ujung ke ujung. Hasilnya, di samping bunyi gedebug, adalah membalik kasur 180 derajat pada poros seperti gambar di bawah.

Peluang terakhir adalah memutar kasur setengah putaran sementara kasur tetap dalam posisi mendatar di ranjang.

Tidak seperti putaran V dan H, rotasi R mempertahankan bagian atas tetap pada posisi atas. Lihat saja pada tampak atas kasur – bayangkan kasur tembus cahaya – lalu periksa nomer-nomer pada sudut-sudut setiap transformasi.

Balikan horizontal mengubah angka-angka menjadi cerminannya. Juga menukar angka 1 dan 2, 3 dan 4.

Balikan vertikal menukar angka-angka dengan cara berbeda dan menegakkan kasur di atas kepalanya, juga mencerminkannya.

Namun rotasi tidak mencerminkan angka-angka ini. Rotasi hanya membalik angka atas dan bawah, kali ini menukar 1 menjadi 4 dan 2 menjadi 3.

Bukan rinciannya yang penting. Intinya adalah bagaimana transformasi-transformasi itu saling terkait. Pola interaksi ini melambangkan simetri dari kasur.

Pola-pola tersebut dapat ditunjukkan dengan mudah dengan diagram berikut:

Empat posisi kasur ditunjukkan pada sudut-sudut diagram. Posisi kiri atas adalah posisi awal. Panah berwarna menunjukkan gerakan yang mengubah matras dari posisi satu ke posisi lainnya.

Contohnya, panah hijau yang menunjuk dari kiri atas ke kanan bawah melambangkan langkah rotasi R. Garis hijau yang sama juga menunjuk ke ujung yang lain, karena jika anda melakukan R dua kali, sama saja anda tidak melakukan apa-apa.

Tentunya ini bukanlah hal baru. Bila kasur diputar dari kepala menjadi kaki lalu diulangi lagi maka kasur akan kembali ke posisi semula. Kita bisa meringkas sifat ini menjadi persamaan RR = I, di mana RR maksudnya melakukan R dua kali, dan I adalah posisi awal kasur. Dengan cara yang sama, putaran horizontal dan vertikal juga saling membatalkan : HH = I dan VV = I.

Diagram ini juga kaya akan informasi lain. Misalnya, V ternyata sama dengan HR, putaran horizontal lalu rotasi – cara yang lebih aman dengan hasil yang sama. Caranya, balikkan kasur dari posisi awal ke timur, lalu putar secara diagonal ke baratdaya. Karena anda tiba pada posisi yang sama bila anda melakukan V, maka diagram ini menunjukkan bahwa HR = V.

Perhatikan juga bahwa urutan langkah tidaklah penting: HR = RH, karena kedua jalur ini menuju V. Hal ini juga berlaku untuk pasangan-pasangan tindakan yang lain. Anda pasti segera menyimpulkan adanya hukum komutatif seperti penjumlahan pada bilangan cacah, x dan y, di mana x + y = y + x. Namun hati-hati: kelompok kasur ini khusus. Banyak grup lain yang melanggar hukum komutatif. Kita beruntung kasur tergolong bersih dan sederhana.

Nah, sekarang kita bicara gunanya. Diagram ini menunjukkan bagaimana memanfaatkan kasur sebaik-baiknya meskipun sudah aus. Setiap strategi yang melakukan keempat cara di atas secara berkala akan berhasil. Contohnya, melakukan R dan H secara bergantian sangatlah menyenangkan – dan karena cara ini memintas V, maka cara ini tidak memberatkan. Agar anda tidak lupa, pabrik sudah berpesan “putar saat musim semi, balik saat musim gugur.”

Grup kasur ternyata berguna di tempat lain yang tak terduga, dari simetri-nya molekul air hingga logika sepasang saklar listrik. Inilah salah satu daya tarik group theory. Hal ini menampakkan kesatuan tersembunyi dari benda-benda yang terlihat tidak berhubungan…seperti anekdot tentang bagaimana fisikawan Richard Feynman tertunda wajib militer-nya.

Psikiatris Angkatan Darat yang sedang mewawancarainya meminta pada Feynman untuk menunjukkan tangannya agar dia dapat memeriksanya. Feynman menyodorkan telapak tangannya, satu menghadap ke atas, lainnya ke bawah. “Bukan begitu,” kata sang psikiatris. Lalu Feynman membalik kedua telapak tangannya, satu menghadap ke bawah, lainnya ke atas.

Feynman tidak sekedar sedang memainkan mind games; dia sedang mementaskan humor kecil group-theory. Jika kita merenungi semua cara bagaimana dia membalik telapak tangannya, sekaligus berbagai transisi di antaranya, panah-panah membentuk pola yang sama seperti grup kasur !

Namun, jika semua ini membuat kasur terlihat membingungkan, mungkin pelajaran sebenarnya di sini sudah anda ketahui – jika sesuatu mengganggu anda, cobalah tidur di atasnya.

Sumber: Group Think oleh Steven Strogatz

Tags: Group Theory, Kasur, Feynman, Steven Strogatz

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: