Jalur Terpendek

Bayangkan sebuah karet gelang yang selalu bisa meregang sejauh mungkin, tetapi tetap melekat pada permukaan. Dengan bantuan karet gelang, kita dapat menentukan dengan mudah jalur terpendek antara New York dan Roma, atau antara dua titik sembarang. Ikat ujung-ujung karet gelang pada titik keberangkatan dan kedatangan dan biarkan dia menarik kuat-kuat dirinya sendiri, selagi dia tetap melekat pada permukaan. Saat karet dalam kondisi benar-benar tegang, Subhanalloh ! Karet membentuk jalur terpendek.

Ide-ide terkenal mengenai geometri dipicu oleh suatu visi kuno – visi bahwa dunia ini datar. Dari garis-garis sejajar yang tak pernah bertemu, hingga teorema Phytagoras, ini semua adalah kebenaran abadi mengenai sebuah tempat imaginer, bentangan dua dimensi dari geometri bidang.

Ditemukan di India, Cina, Mesir dan Babilonia lebih dari 2.500 tahun lalu, lalu disistematisasi dan disempurnakan oleh Euclid dan orang Yunani, geometri bumi datar adalah salah satu pelajaran terpenting (dan seringkali satu-satunya) yang diajarkan di SMU hari ini. Namun beberapa hal telah berubah selama beberapa millennium terakhir.

Pada era globalisasi, Google Earth dan penerbangan lintas benua, kita harus belajar sedikit mengenai geometri bola dan perkembangannya di dunia modern, geometri differensial. Ide dasar geometri bola ini baru berusia 200 tahun. Dipelopori oleh Carl Friedrich Gauss dan Bernhard Riemann, geometri differensial mendukung penerapan teori umum Relativitas dari Einstein . Namun, konsep-konsep dasar geometri differensial dapat dipahami oelh siapapun yang pernah menaiki sepeda, melihat globe atau meregangkan karet gelang. Sehingga memahami konsep-konsep ini akan menjawab rasa ingin tahu anda ketika anda bepergian.

Contohnya, ketika saya masih kecil, ayah saya sering memberi tebakan geometri pada saya. Dia pernah bertanya, mana yang lebih jauh ke utara, Roma atau New York? Kebanyakan orang akan menjawan New York, tetapi ternyata keduanya hampir berada pada bujur yang sama, dengan Roma sedikit lebih jauh ke utara. Pada peta dunia biasa, sepertinya anda dapat pergi langsung dari New York ke Roma dengan menuju ke timur.

Tetapi pilot tak pernah melewati rute ini. Mereka selalu terbang dari New York ke arah timur laut, melalui pesisir Kanada. Saya dulu berpikir mereka terbang dekat daratan untuk keselamatan, namun bukan itu alasannya. Itulah rute yang terpendek, jika anda memperhatikan lengkungan bumi. Jalur terpendek dari New York ke Roma adalah melalui Nova Scotia dan New Foundland, lalu mengarah ke lautan Atlantik, dan akhirnya menikung ke bagian selatan Irlandia dan menyeberangi Prancis hingga sampai ke Italia yang cerah.

Jalur jenis ini di globe dinamakan busur “lingkaran akbar.” Seperti garis lurus di bidang normal, lingkaran akbar di sebuah bola berisi jalur terpendek antara dua titik sembarang. Garis-garis ini disebut “akbar” karena merupakan lingkaran terbesar yang anda dapatkan pada sebuah bola. Contoh yang paling jelas adalah garis khattulistiwa dan garis bujur yang melalui kutub utara dan kutub selatan .

Garis dan lingkaran akbar juga memiliki sifat yang sama yaitu jalur terlurus. Mungkin kedengarannya aneh – semua jalur di sebuah globe berbentuk melengkung, lalu apa yang kami maksud dengan “terlurus”? Begini, beberapa jalur lebih lengkung daripada lainnya. Lingkaran akbar tidak menambah kelengkungan, lingkaran-lingkaran ini hanya dipaksa mengikuti kelengkungan bola (bumi).

Begini cara menggambarkannya. Bayangkan anda sedang mengendarai sepeda kecil pada permukaan globe, lalu anda berusaha tetap pada jalur tertentu. Jika jalur itu merupakan bagian dari lingkaran akbar, anda tidak perlu memegang setangnya. Itulah alasannya lingkaran akbar dinamakan “lurus.” Sebaliknya jika jalur itu merupakan bagian dari garis lintang yang lebih dekat ke salah satu kutub, maka anda harus tetap memegang setang.

Tentu saja permukaan bola dan bidang memang sederhana. Permukaan tubuh manusia, atau kaleng, atau roti bagel lebih khusus – sedikit sekali simetrinya, juga beragam lubang dan jalan sehingga lebih sulit navigasinya. Untuk aplikasi yang lebih umum, mencari jarak terpendek antara dua titik sembarang akan sangat rumit. Jadi ketimbang berpusing-pusing mengenai cara-cara teknis, lebih baik kita memakai pendekatan intuitif. Di sinilah karet gelang amat berguna.

Bayangkan sebuah karet gelang yang selalu bisa meregang sejauh mungkin, tetapi tetap melekat pada permukaan. Dengan bantuan karet gelang, kita dapat menentukan dengan mudah jalur terpendek antara New York dan Roma, atau antara dua titik sembarang. Ikat ujung-ujung karet gelang pada titik keberangkatan dan kedatangan dan biarkan dia menarik kuat-kuat dirinya sendiri, selagi dia tetap melekat pada permukaan. Saat karet dalam kondisi benar-benar tegang, Subhanalloh ! Karet membentuk jalur terpendek.

Pada permukaan yang sedikit lebih rumit dari bidang datar atau bola, sesuatu yang aneh dan baru bisa terjadi: banyak jalur terpendek lokal ada di antara dua titik yang sama. Contohnya, ambil permukaan kaleng susu, di mana satu titik berada tepat di bawah titik yang lain.

Maka jalur terpendek di antara keduanya jelas sebuah garis, seperti gambar di atas, dan karet gelang kita adalah solusinya. Lalu apanya yang baru di sini? Bentuk silindris dari kaleng membuka berbagai peluang lengkungan baru. Andaikan kita mengharuskan karet gelang untuk memutari tabung sebelum bersambung ke titik kedua. Sekarang ketika karet telah menegang, karet membentuk spiral, seperti lengkungan di rambut model kuno.

Jalur spiral ini merupakan solusi lain untuk masalah jalur terpendek, yaitu terpendek untuk jalur-jalur yang berdekatan. Jika anda mendorong sedikit karet gelang, karet akan sedikit memanjang lalu kembali ke jalur spiral. Anda bisa menyebutnya jalur terpendek “lokal” – juara regional untuk jalur yang mengelilingi silinder satu kali. (omong-omong, inilah mengapa subjek ini dinamakan geometri “diferensial”; subjek ini mempelajari pengaruh perbedaan lokal kecil-kecil pada berbagai macam bentuk, misalnya perbedaan panjang antara jalur spiral dan tetangga-tetangganya.)

Namun itu belum semuanya. Ada juara lain untuk keliling tabung dua kali, dan juara lain untuk keliling tabung tiga kali, dan seterusnya. Ada tak terhingga banyaknya jalur terpendek lokal dalam satu tabung! Tentu saja, tak ada dari spiral-spiral ini yang merupakan jalur terpendek “global”. Jalur garis lurus lebih pendek dari semua spiral-spiral itu.

Hal serupa dijumpai pada permukaan yang mempunyai banyak lubang dan pusaran. Ada banyak jalur terpendek lokal pada permukaan tersebut yang dibedakan dari pola putaran mengelilingi berbagai bagian permukaan. Link video berikut dibuat oleh matematikawan Konrad Polthier dari Free University di Berlin yang menggambarkan lazimnya banyak jalur terpendek lokal, atau “geodesic,” pada permukaan planet imaginer yang berbentuk angka 8, yang terkenal dengan nama “two-holed torus” (klik tabung dua lubang).

Pada video di atas, Geodesic merah, kuning dan biru mengunjungi bagian planet yang berbeda-beda sehingga menimbulkan pola lengkung yang berbeda. Namun semua geodesic ini sama-sama lebih pendek daripada jalur-jalur di dekatnya. Seperti garis pada bidang datar atau lingkaran akbar pada bola, geodesicgeodesic ini adalah lengkungan terpendek mungkin pada permukaan. Geodesic melengkung untuk menyesuaikan diri dengan permukaan, tetapi tidak melengkung di dalam dirinya sendiri. Agar jelas, Polthier telah membuat link video lain untuk menjelaskan (klik sepeda tanpa setang)

Di sini, sebuah sepeda motor berjalan di sepanjang jalan geodesic di two-holed torus, mengikuti kontur daratan. Yang menakjubkan adalah setang sepeda motor dalam posisi terkunci. Sepeda motor tidak perlu dikemudikan agar tetap berada di jalan itu. Hal ini mendukung intuisi di atas bahwa geodesic, seperti lingkaran akbar, merupakan generalisasi alami dari garis lurus.

Anda mungkin bertanya apakah geodesic memang nyata. Tentu saja nyata. Einstein menunjukkan bahwa berkas sinar mengikuti jalur geodesic ketika berkelana di alam semesta. Yang terkenal adalah ketika cahaya bintang membelok di sekitar matahari, terdeteksi saat pengamatan gerhana pada tahun 1919, mendukung bahwa cahaya berjalan pada geodesic melalui ruang-waktu yang melengkung, di mana lengkungan ditimbulkan oleh gravitasi matahari.

Di permukaan bumi, hitungan matematis untuk menemukan jalur terpendek sangat penting mulai dari sistem navigasi GPS di mobil kita hingga routing lalu lintas internet. Ruangnya berupa jaringan raksasa berisi alamat dan tautan, sangat berbeda dengan permukaan halus di atas, sedangkan hitungan matematis harus dilakukan dengan algoritma – apakah cara paling efisien untuk mencari jalur terpendek melalui jaringan? Dengan rute potensial yang tak terhingga, tugas mencari jalur terpendek menjadi amat sangat sulit. Dan ini bukan kewajiban matematikawan cerdas atau ilmuwan komputer untuk memecahkannya.

Kadang-kadang ketika orang mengatakan jarak terpendek di antara dua titik adalah garis lurus, itu hanyalah kiasan, sebagai cara untuk menyederhanakan. Namun menyingkirkan penghalang dapat membuat sesuatu makin cantik – seperti di seni, dan juga matematika, seringkali lebih berguna untuk membatasi kita sendiri. Pikirkan mengenai haiku, atau sonnets, atau ceritakan kisah hidupmu dalam enam kata. Menarik juga ketika semua matematika yang diciptakan untuk mencari jalan terpendek dari sini ke sana tetap membuat anda tak bisa mencari jalan keluar.

Dua titik. Banyak jalur. Kabahagiaan matematis.

Diterjemahkan dari Think Globally karya Steven Strogatz

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: